אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

Transcript

1 אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f 1 + f 2 I.3 לכל f I ולכל [x] g(x) F מתקיים:.fg I 1 פולינומים, n הגדרה 1.1 (פולינום) יהי F שדה, פולינום הינו ביטוי מהצורה 0=i α ix i כאשר α i F ו x הינו משתנה. הגדרה 1.2 (מעלת הפולינום) נניח כי קיים i n 0 כך ש 0 i α, במקרה זה נסמן את מעלת הפולינום 0} i.deg(p) = max{0 i n α אחרת, אם = 0 p(x) נסמן =.deg(p) טענה 1.14 יהיו [x] f 1,..., f k F אזי הקבוצה המוגדרת על ידי: I הקבוצה.F הינה אידיאל ב [ x ] I = { k g if i 1 i k g i F [x]} כנ"ל נקראת האידיאל שנוצר על ידי f 1,..., f k ומסומנת > k.i =< f 1,..., f הגדרה 1.3 יהי p(x) פולינום ממעלה 0 k, המקדם α k נקרא המקדם המוביל של.p(x) פולינום אשר המקדם המוביל שלו הינו 1 נקרא פולינום מתוקן. משפט 1.4 נסמן ב [x] F) n ([x] F את אוסף הפולינומים במשתנה x (ממעלה לכל היותר n) עם מקדמים בשדה F. אזי [x] F יחד עם פעולות החיבור והכפל בסקלר הוא מרחב וקטורי ממימד אינסופי (מימד n). משפט 1.15 (כל אידיאל בחוג הפולינומים הוא ראשי) יהי [x] I F אידיאל. אזי קיים פולינום [x] f(x) F כך ש > f.i =< הערה: נניח כי [x] I F אידיאל ו > 2.I =< f 1 >=< f אז f 1, f 2 הם כפולות אחד של השני, כלומר קיים λ F 0 כך ש.f 1 = λf מחלקים משותפים הגדרה [x] 1.16 f 1, f 2 F פולינומים, פולינום [x] g(x) F נקרא מחלק משותף מירבי של f 1, f 2 אם מתקיים: ואת.f 2 מחלק את f 1 g.1 טענה 1.5 לכל שני פולינומים [x] p(x), q(x) F מתקיים כי:.deg(pq) = deg(p) + deg(q) משפט 1.6 יהיו [x] f, g F פולינומים כאשר 0.g(x) אזי קיימים פולינומים יחידים [x] q(x), r(x) F כך שמתקיים: f(x) = q(x)g(x) + r(x) & deg(r) < deg(q).2 אם [x] h F מחלק את f 1, f 2 אזי h מחלק את.g סימון: קבוצת כל המחלקים המשותפים של [x] f,1 f 2 F מסומנת ב gcd(f 1, f 2 ) F [x] משפט 1.17 יהיו [x] f 1, f 2 F אזי [x] g F מקיים > 2 < g >=< f 1, f אם ורק אם ) 2.g gcd(f 1, f כלומר: >} 2.gcd(f 1, f 2 ) = {g :< g >=< f 1, f הגדרה [x] 1.18 g F הוא מחלק משותף מקסימלי של [x] f 1,.., f n F אם מתקיים: הגדרה 1.7 אם [x] f, g F פולינומים כך שקיים [x] q(x) F עבורו,f = qg נאמר כי f מתחלק ב g ו g מחלק את f. 1.1 שורשים של פולינומים טענה λ F 1.8 הוא שורש של פולינום [x] p(x) F אם ורק אם p(x) מתחלק ב ( λ x)..f 1,..., f n מחלק את g.1.2 אם [x] h F מחלק את f 1,..., f n אזי h מחלק את.g משפט 1.19 לכל [x] f 1,..., f n F קיים:.gcd(f 1,..., f n ) = {g F [x] :< g >=< f 1,..., f n >} 1.4 פולינומים אי פריקים ופירוק לפולינומים אי פריקים הגדרה 1.20 פולינום [x] p F נקרא אי פריק אם: הגדרה 1.9 (ריבוי של שורש) יהי [x] p(x) F 0 פולינום ונניח כי λ F הינו שורש של.p(x) המספר השלם 1 s הגדול ביותר עבורו p(x) מתחלק ב x) (λ s נקרא הריבוי של λ כשורש של.p(x) משפט 1.10 יהי [x] p(x) F פולינום ממעלה 1 n ו λ 1,..., λ k F שורשים שונים של.p(x) אזי p(x) מתחלק ב (.(x λ 1 )...(x λ k מסקנה 1.11 לכל פולינום p(x) ממעלה 1 n יש לכל היותר n שורשים..deg(p) אם קיימים פולינומים [x] f, g F כך ש fg p = אזי g או f הוא קבוע 0 (כלומר = 0 deg(g) או = 0.(deg(p) טענה 1.12 (תרגיל) אם r Q שורש של פולינום 0 f(x) = a n x n a r = p q כאשר p, q Z ו = 1 q) gcd(p, אזי מתקיים כי q מחלק Z[x] ונסמן את a n ו p מחלק את a. 0 1

2 2.1 הפולינום האופייני של העתקה ליניארית/מטריצה טענה 2.10 תהי ) (F A M n מטריצה, אזי λ F הוא ע"ע של A אם ורק אם = 0 A).det(λI הגדרה 2.11 תהי ) (F A M n מטריצה אזי המטריצה t)b = ti A משתנה) נקראת המטריצה האופיינית של A. הפונקציה (A det(ti נקראת הפולינום האופייני של A ומסומנת ב ( t ) P. A טענה 2.12 תהי ) (F A M n מטריצה אז הביטוי (t) P A הינו פולינום מתוקן ממעלה n במשתנה t. מסקנה מההגדרה: תהי ) (F A M n מטריצה אזי λ F הוא ע"ע של A אם ורק אם λ הוא שורש של הפולינום האופייני (t) P. A משפט 2.13 למטריצות דומות יש את אותו הפולינום האופייני. הגדרה 2.14 תהי T : V V העתקה ליניארית. הפולינום האופייני של T המסומן ב (t) P T הוא הפולינום האופייני של מטריצת הייצוג של T על פי בסיס כלשהו של V. 2.2 פולינום אופייני וליכסון משפט 2.15 (תנאי הכרחי לליכסון) אם העתקה ליניארית T : V V לכסינה, אז הפולינום האופייני (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים. הגדרה 2.16 תהי T : V V העתקה לינארית של מ"ו V מעל שדה F. יהי.T ערך עצמי של λ F 1. הריבוי האלגברי של λ הוא הריבוי של λ כשורש של הפולינום האופייני.P T (t) 2. הריבוי הגיאומטרי של λ הוא המימד של המרחב העצמי V. λ משפט 2.17 תהי T : V V העתקה ליניארית ו λ F ערך עצמי של,T אזי הריבוי הגיאומטרי של λ אינו עולה על ריבויו האלגברי. משפט 2.18 (תנאי מספיק והכרחי לליכסון) תהי T : V V העתקה ליניארית, אזי T לכסינה אם ורק אם: 1. הפולינום האופייני (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים. 2. לכל ע"ע λ F של T הריבוי הגיאומטרי של λ שווה לריבוי האלגברי. 2.3 אלגוריתם הליכסון נתונה: T : V V העתקה ליניארית. המטרה: להכריע האם T לכסינה, ובמידה וכן למצוא בסיס מלכסן. השיטה: משפט 1.21 (קיום ויחידות פירוק לגורמים אי פריקים) יהי [x] p(x) F פולינום כך ש 1,deg(p) אזי קיימים פולינומים אי פריקים.p = p 1 p 2...p n כך ש p 1,..., p n F [x] יתרה מזאת אם p = p 1 p 2...p n וכן p = q 1 q 2...q m כאשר [x] p 1,..., p n, q 1,..., q m F אזי m = n וקיימת תמורה σ S n וקבועים. 1 i n : p i = λ i q σ(i) כך ש λ 1,..., λ n F מסקנה: יהי [x] f F פולינום ממעלה 1 לפחות. אזי קיים ייצוג יחיד.λ F אי פריקים ומתוקנים ו p 1,..., p n F [x] כאשר f = λp 1...p n משפט 1.22 יהי [x] p(x) F פולינום ממעלה n 1 ונניח כי λ 1,..., λ k F הם שורשים שונים של p(x) עם ריבויים s 1,,... s k בהתאמה. אזי p(x) מתחלק.(x λ 1 ) s1...(x λ k ) s k בפולינום משפט 1.23 (המשפט היסודי של האלגברה) יהי C[x] p(x) פולינום ממעלה 1 לפחות. אזי ל p קיים שורש λ. C מסקנה: הפולינומים האי פריקים ב [ C[x הם בדיוק הפולינומים הליניאריים. טענה 1.24 הפולינומים האי פריקים ב [ R[x הם בדיוק פולינומים ליניאריים ופולינומים ריבועיים ללא שורשים (ממשיים). 2 ערכים עצמיים וליכסון הגדרה 2.1 יהיה V מרחב וקטורי n מימדי (1 n) מעל שדה F. העתקה ליניארית T : V V נקראת לכסינה אם קיים בסיס B של V בו מטריצת הייצוג T] ] B היא מטריצה אלכסונית. הגדרה 2.2 (מקבילה למטריצות) מטריצה ) F) A M n נקראת ניתנת ללכסון או לכסינה אם A דומה למטריצה אלכסונית. כלומר אם קיימת מטריצה הפיכה.D = P 1 AP כך שמתקיים D ומטריצה אלכסונית P M n (F ) משפט 2.3 יהי V מרחב וקטורי ממימד 1 n ותהי T : V V העתקה ליניארית. T לכסינה אם ורק אם קיים בסיס סדור } n B = {v 1,..., v וקבועים. 1 i n : T v i = λ i v i כך שמתקיים: λ 1,..., λ n F הגדרה 2.4 נניח כי T (v) = λv עבור λ F ו v V.0 אזי λ F נקרא ערך עצמי של T ו v V נקרא וקטור עצמי של T השייך לערך עצמי λ. טענה 2.5 תהי T : V V ה"ל, כאשר V מ"ו מעל שדה,F ויהי λ F ערך עצמי של,T אזי הקבוצה λv} V λ = {v V : T v = הינה תת מרחב של.V קבוצה זאת נקראת תת המרחב העצמי של T השייך לערך עצמי λ. משפט 2.6 (ו"ע השייכים לע"ע שונים) תהי T : V V ה"ל ) V מ"ו n מימדי מעל.(F נניח כי λ 1,..., λ k F הם ע"ע שונים של T ו v 1,..., v k הם ו"ע השייכים לערכים העצמיים הנ"ל בהתאמה, אזי הקבוצה } k x = {v 1,..., v בת"ל ב V. מסקנה: אם dim V = n ולהעתקה ליניארית T : V V יש n ע"ע שונים, אזי T לכסינה. (זהו תנאי מספיק אך לא הכרחי). 1. מצא את הפולינום האופיינו (t) P. T 2. אם (t) P T לא מתפרק לגורמים ליניאריים, עצרי! T אינה לכסינה :( λעבור i λ j ) P T (t) = (t λ 1 ) s 1,(i j עבור...(t λ k ) s k 3. נניח כי.B i ובסיסו V λi מצא את המימד של המרחב העצמי 1 i k.4 אם קיים i k 1 עבורו,dim V λi < s i עצרי! T אינה לכסינה ):,B = k זהו הבסיס המלכסן (:.5 אחרת ) λi (s i = dim V הגדירו B k טענה 2.7 תהי T : V V העתקה לינארית, B בסיס של V ו B A = [T ] ) F) M n מטריצת הייצוג של T לפי בסיס B. אזי ל T ול A יש את אותם ערכים עצמיים ויתרה מזאת v V הוא ו"ע של T השייך לע"ע λ אם ורק אם הווקטור [v] B F n הוא ו"ע של A השייך לע"ע.λ 2 מסקנה 2.8 למטריצות דומות אותם ערכים עצמיים. משפט T : V V 2.9 ו ( A = [T ] B M n (F מטריצת הייצוג של T על פי בסיס B. אזי T לכסינה אם ורק אם A לכסינה.

3 .1 תהיינה ) (F A, B M n מטריצות דומות, אזי (t).m A (t) = M B.2 נניח כי מטריצה ) (F A M n לכסינה אזי ) k.m A (t) = (t λ 1 )...(t λ כאשר λ 1,..., λ k כל הע"ע השונים של.A.3 נניח כי למטריצה ) (F A M n יש n ע"ע שונים.λ 1,.., λ n F אזי.M A (t) = P A (t) = (t λ 1 )...(t λ k ) 2.4 שילוש של העתקות מרוכבות תזכורת: מטריצה ) F) A M n נקראת משולשית עליונה אם מתקיים. 1 i, j n : j < i a ij = 0 טענה 2.19 אם ) (F A M n משולשית עליונה עם הערכים λ 1,..., λ n באלכסון אזי הפולינום האופייני של A הינו ) n.p A (t) = (t λ 1 )...(t λ מציאת הפולינום המינימלי משפט 3.13 תהי ) (F A M n מטריצה ויהי λ F ע"ע של A אזי t λ מחלק את הפולינום המינימלי (t) M. A מסקנה: לפולינום האופייני (t) P A ולפולינום המינימלי (t) M A של מטריצה A אותם גורמים לינאריים. למעשה נכונה טענה כללית יותר: ל ( t ) P A ול ( t ) M A אותם גורמים אי פריקים הפולינום המינימלי של העתקה ליניארית סימון: T : V V ה"ל של מ"ו V מעל שדה,F נסמן : [t] I T = {p(t) F.p(T ) = 0} טענה 3.14 באופן דומה למקרה המטריצי, לכל T ה"ל, הקבוצה I T הינה אידיאל ב [ t ] F. הגדרה 3.15 בהינתן T : V V ה"ל, הפולינום המתוקן היחיד שיוצר את האידיאל I T נקרא הפולינום המינימלי של T ומסומן ב ( t ) M. T טענה 3.16 תהי T : V V העתקה ליניארית ו B בסיס של V. תהי A = [T ] B מטריצת הייצוג של T לפי בסיס.B אזי I A = I T (ולכן גם למטריצת הייצוג ולההעתקה המיוצגת אותו פולינום מינימלי). מסקנות: כמו במקרה המטריצי פולינום מינימלי וליכסון משפט 3.17 תהי T : V V העתקה ליניארית של מ"ו V מעל שדה F. אזי T לכסינה אם ורק אם הפולינום המינימלי (t) M T מתפרק לגורמים ליניאריים λ i עבור כל λ j שונים, כלומר ) k M T (t) = (t λ 1 )...(t λ כאשר.1 i j k 0 1 = n J, בלוק ז'ורדן נילפוטנטי צורת ז'ורדן הגדרה 4.1 יהי F שדה, נסמן מסדר n. טענה 4.2 לכל 1 k שלם מתקיים: I היא אידיאל. טענה 3.8 לכל ) (F A M n הקבוצה [t] A F k {}}{ M A מטריצה. הפולינום המתוקן היחיד שיוצר את הגדרה 3.9 תהי ) (F n (J n ) k....m האידיאל I A נקרא הפולינום המינימלי של A ומסומן ב ( t ) A = 1 A M מטריצה. נניח כי קיים שלם חיובי k כך ש טענה 3.10 תהי ) (F n.a n אז = 0 A k = 0 0 מסקנה: אם A = J n אז P A (t) = M A (t) = t n הגדרה T : V V 2.20 העתקה ליניארית, בסיס B של V נקרא בסיס משלש אם מטריצת הייצוג T] ] B הינה משולשית עליונה. טענה 2.21 בסיס B של מ"ו V משלש את ההעתקה T : V V אם ורק אם.1 i n Tלכל v i sp{v 1,..., v i } משפט 2.22 יהי V מרחב וקטורי n מימדי (1 n) מעל שדה המרוכבים C ו T העתקה לינארית. אזי ל T קיים בסיס משלש. 3 הצבה של מטריצה/העתקה ליניארית לתוך פולינום הגדרה 3.1 תהי ) (F A M n מטריצה ) V T : V ה"ל) ויהי p(t) = m פולינום. i=0 α it i F [t] ההצבה (A) (P (T )) P מוגדרת על ידי:.(P (T ) = m i=0 αi T i ) P (A) = m i=0 αi A i כאשר (T 0 = Id) A 0 = I n ו.(T i = T... T ) A i = A...A הגדרה 3.2 מטריצה A (העתקה (T מאפסת פולינום p(t) אם = 0 (A) P.(P (T ) = 0) טענה 3.3 אם [t] p 1, p 2 F ו ) (F A M n אזי מתקיים = (A) p 1 (A)p 2.p 2 (A)p 1 (A) טענה T : V V 3.4 העתקה ליניארית במרחב וקטורי מעל שדה B,F בסיס של.V אם [t] p(t) F פולינום אזי: ) B.[p(T )] B = p([t ] טענה 3.5 תהי ) (F D = diag(λ 1,..., λ n ) M n מטריצה אלכסונית ו.p(D) = diag(p(λ 1 ),..., p(λ n )) פולינום. אזי: p(t) F [t] טענה 3.6 נניח כי ) (F A M n מטריצה לכסינה, כלומר קיימת = D ) n diag(λ 1,..., λ ו Q הפיכה כך ש AQ.D = Q 1 יהי p(t) פולינום, אזי:.p(A) = Qp(D)Q 1 משפט 3.7 (קיילי המילטון, למטריצות) תהי ) (F A M n מטריצה, ויהי [t] P A (t) F הפולינום האופייני של A אזי מתקיים = 0 (A).P A (באופן דומה גם להעתקות). 3.1 הפולינום המינימלי סימון: בהינתן מטריצה ) (F A M n נסמן 0} = p(a).i A = {p(t) F [t] : טענה 3.11 תהי ) (F D = diag(λ 1,..., λ n ) M n אזי (t M A (t) =.λ 1,..., λ n הם כל הערכים השונים מבין λ i1,..., λ ik כאשר λ i1 )...(t λ ik ) הגדרה 4.3 מטריצה ) (F A M n נקראת נילפוטנטית מאינדקס s אם = 0 s A אבל 0 k A לכל.k < s 3 טענה 3.12 אם מטריצות ) (F A, B M n דומות אזי.I A = I B מסקנות מהטענה:

4 משפט 4.12 (צורת ז'ורדן למטריצות) (C) A M n מטריצה אז A דומה למטריצת ז'ורדן G. כלומר קיימת מטריצת ז'ורדן G ומטריצה הפיכה P כך ש A. = P 1 GP יתרה מזאת צורת ז'ורדן של A נקבעת ביחידות ע"י A עד כדי שינוי סדר הבלוקים. הערות: 1. הכרחי לקיום צורת ז'ורדן (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים. ניתן לטעון קיום ויחידות של צורת ז'ורדן מעל כל שדה F בו כל פולינום (ממעלה 1 ( מתפרק לגורמים ליניאריים. 2. R אינו שדה סגור אלגברית, לכן לא תמיד קיימת צורת ז'ורדן מעל R. יחד עם זאת אם T : V V ה"ל כך ש ( t ) P T מתפרק לגורמים ליניאריים, אזי ל T קיימת צורת ז'ורדן וצורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים שימושים של משפט ז'ורדן משפט 4.13 תהי (C) A M n מטריצה אזי A דומה ל.A t 4.3 מציאת בסיס ז'ורדן של מטריצה בהינתן (C) A M n נרצה למצוא בסיס ז'ורדן עבור A..1 מוצאים (t) P A ו ( t ),M A וערכים עצמיים של.A 2. באמצעות הריבוי האלגברי והגיאומטרי וכן הריבוי של λ כשורש של הפולינום המינימלי, מוצאים את צורת ז'ורדן של A. 3. עתה מספיק למצוא בסיס ז'ורדן עבור כל ע"ע בנפרד ולבסוף לאחד את הבסיסים. λ 1 = (λ) J n נקראת בלוק λ הגדרה 4.4 יהי λ F המטריצה 1 λ ז'ורדן מסדר n השייך ל λ. נשים לב שנוכל לכתוב:.J n (λ) = λi n + J n טענה 4.5 יהי ) (F A = J n (λ) M n בלוק ז'ורדן מסדר n השייך ל λ F אזי.P A (t) = M A (t) = (t λ) n.a k = k i=0 ( k i) טענה 4.6 אם ) (F A = J n (λ) M n אזי λ k i (J n ) i הערה: אם בטענה הנ"ל k n אז כיוון ש = 0 k Jn מקבלים = k A. n 1 ) i=0 λ k i (J n ) i הגדרה 4.7 מטריצת ז'ורדן הינה מטריצת בלוקים אלכסונית בה כל בלוק באלכסון הוא בלוק ז'ורדן: J n1 (λ 1 ) 0 J n2 (λ 2 ) G =... 0 J nk (λ k ) ( k i 4.1 תכונות של מטריצת ז'ורדן תהי )) k G = diag(j n1 (λ 1 ),..., J nk (λ מטריצת ז'ורדן, אזי: מציאת בסיס ז'ורדן עבור ערך עצמי λ נניח כי למטריצה (C) A M n ערך עצמי λ, והבלוקים השייכים ל λ הינם.J n1 (λ),..., J nk (λ) נרצה למצוא בסיס ז'ורדן B λ המתאים לע"ע הנ"ל..1 נגדיר.B = A λi 2. נמצא עתה את n 1 הוקטורים הראשונים בבסיס B. λ.3 נשים לב כי הוקטורים v 1, v 2,..., v n1 B λ צריכים לקיים את הקשר: ( ) Bv 2 = v 1 Bv 3 = v 2 Bv n1. = v n G משולשית עליונה..P G (t) = (t λ 1 ) n1...(t λ k ) n k 2. הפולינום האופייני של G:.3 הפולינום המינימלי של :G באופן כללי אם ) k A = diag(b 1,..., B מטריצת בלוקים אלכסונית, אזי (t)).m A (t) = lcm(m B1 (t),..., M Bk זה נכון גם עבור G..4 הערכים העצמיים של G הינם.λ 1,..., λ k 5. הריבוי האלגברי של הערך העצמי λ i הינו סכום סדרי הבלוקים השייכים ל.λ i טענה 4.8 (תרגול) תהי (C) A M n 1. הריבוי של λ כשורש של הפולינום המינימלי הינו גודל הבלוק הגדול ביותר השייך ל λ בצורת ז'ורדן של A. ( ) v n1 v 2 ker B 2 \ ker B v 3 ker B 3 \ ker B 2. ker B n 1 \ ker B n 1 1 וגם:.4 נבחר וקטור.v n1 ker B n1 \ ker B n עתה באמצעות ( ) ניתן למצוא את שאר הוקטורים. 6. נחזור על התהליך עבור שאר הבלוקים, כאשר נוודא שאנו בוחרים וקטורים שאינם תלויים ליניארית בוקטורים שכבר בחרנו עבור הבלוקים הקודמים. 2. מספר הבלוקים עם ערך λ בגודל לפחות k בצורת ז'ורדן של A הינו.rk(A λi) k 1 rk(a λi) k טענה 4.9 תהי G מטריצת ז'ורדן, אזי הריבוי הגיאומטרי של ערך עצמי λ i של λ. i הינו מספר הבלוקים השייכים ל G, 4.2 בסיס ז'ורדן וצורת ז'ורדן של העתקות ומטריצות הגדרה T : V V 4.10 העתקה ליניארית של מ"ו n מימדי V מעל שדה.F בסיס B של V הוא בסיס ז'ורדן עבור T אם מטריצת הייצוג G = T] ] B היא מטריצת ז'ורדן. משפט 4.11 (ז'ורדן) תהי T : V V העתקה ליניארית של מרחב וקטורי n מימדי (n 1) V מעל.C אזי ל T קיים בסיס ז'ורדן. יתרה מזאת, כל שתי צורות ז'ורדן של T זהות זו לזו עד כדי שינוי סדר בלוקי ז'ורדן באלכסון. 4

5 A t = A.1 n מס' ממשי אי שלילי n.2 לכל α 1,..., α n R קיים j=1 α iα j a ij וכן הביטוי הנ"ל מתאפס אם ורק אם = 0 n α 1 =... = α הגדרה 5.11 (נורמה) מוגדרת באותו אופן כמו במקרה הממשי. תכונות של נורמה: יהי V ממ"פ, ו נורמה על V.1 ליניאריות: לכל v V ולכל סקלר λ מתקיים v. λv = λ.2 חיוביות: 0 v והשוויון מתקיים אם ורק אם = 0.v.3 אי שוויון משולש: v. u + v u אורתוגונליות הגדרה 5.12 יהי V ממ"פ. וקטורים,u v V נקראים אורתוגונליים זה לזה אם >= 0 v.< u, הגדרה 5.13 (משלים אורתוגנלי) יהי V ממ"פ, תהיה U V קבוצת וקטורים. המשלים האורתוגונלי של U המסומן ב U היא קבוצת וקטורים ב V המוגדרת על ידי: 0} >= v.u = {v V : u U < u, משפט 5.14 (תכונות של המשלים האורתוגונלי) יהי V ממ"פ ו U V תת קבוצה. אזי: V. הוא תת מרחב של U 1. 5 מרחבי מכפלה פנימית 5.1 מכפלה פנימית ממשית הגדרה 5.1 (מעל (R יהי V מ"ו מעל שדה,R פונקציה f : V V R (נסמן > v (f(u, v) =< u, נקראת מכפלה פנימית על V אם:.1 סימטריות: לכל u, v V קיים > u.< u, v >=< v,.2 ליניאריות: לכל u, v, w V קיים < + > w < u + v, w >=< u,.v, w >.3 הומוגניות: לכל u, v V ולכל λ R קיים > v.< λu, v >= λ < u,.4 חיוביות: לכל v V קיים > 0 v < v, ויתרה מזאת >= v < v,.0 v = 0 משפט 5.2 (אי שוויון קושי שוורץ) יהי V מ"ו ממשי עם מכפלה פנימית >,>, אזי לכל a, b V קיים: < a, b > 2 < a, a >< b, b > או בניסוח שקול דרך נורמה v.< u, v > u הגדרה 5.3 הנורמה של, v V המסומנת ב v, מוגדרת על ידי = v. < v, v >.2 אם U u U אזי = 0.u 3. ) U) U (אם Vממימד סופי ו U תת מרחב אזי קיים שוויון). הגדרה 5.15 יהי V ממ"פ, קבוצת וקטורים K V נקראת הגדרה 5.16 קבוצה אורתוגונלית אם: 0 / K.1.2 לכל u v K קיים >= 0 v.< u, קבוצה אורתונורמלית אם K קבוצה אורתוגונלית וכן = 1 v לכל v. K משפט 5.17 יהי V ממ"פ ותהי K V קבוצה אורתוגונלית, אזי K היא קבוצה בלתי תלויה ליניארית. הגדרה 5.18 בסיס B של ממ"פ V נקרא בסיס אורתוגונלי (אורתונורמלי) אם B קבוצה אורתוגונלית (אורתונורמלית). משפט 5.19 יהי V ממ"פ. קבוצה אורתוגונלית סופית K היא בסיס אורתוגונלי אם ורק אם K קבוצה אורתוגונלית מקסימלית לפי הכלה (כלומר לכל וקטור v V \ K הקבוצה {v} K אינה אורתוגונלית). משפט 5.20 יהי V ממ"פ n מימדי ויהי } n B = {v 1,..., v בסיס אורתונורמלי של V..u = n.1 לכל u V מתקיים < u, v i > v i.< u, w >= n.2 לכל u, w V מתקיים > i < u, v i >< w, v. u = n.3 לכל u V מתקיים 2 > i < u, v משפט 5.21 (היטל אורתוגונלי) יהי V ממ"פ ויהי U V תת מרחב לא טריוויאלי של.V נניח כי.v V \ U.1 קיים u 0 U כך ש (v u 0 ) u 5.2 מכפלה פנימית מרוכבת 2. וקטור u 0 כנ"ל הוא יחיד. u 0 נקרא ההיטל האורתוגנלי של v על U. הגדרה V 5.4 מ"ו מעל שדה C ו C f : V V (נסמן > v,(f(u, v) =< u, f נקראת מכפלה פנימית על V אם:.1 הרמיטיות: לכל u, v V מתקיים כי > u.< u, v >=< v,.2 ליניאריות: לכל u, v, w V מתקיים < + > w < u + v, w >=< u,.v, w >.3 הומוגניות: לכל u, v V ו C λ מתקיים > v < λu, v >= λ < u, (וכן > v.(< u, λv >= λ < u,.4 חיוביות: לכל v V קיים > 0 v < v, ויתרה מזאת >= v < v,.0 v = 0 משפט 5.5 (אי שוויון קושי שוורץ) כמו במקרה הממשי. הגדרה 5.6 (מטריצה של מכפלה פנימית) יהי V מ"ו n מימדי עם מכפלה פנימית > <, ו { B = {v 1,..., v n בסיס סדור של.V נגדיר את המטריצה של המכפלה הפנימית (C) A M n באופן הבא: >= ij (A).v i, v j > טענה 5.7 אם (C) A M n מטריצת מכפלה פנימית, אזי.A = A טענה 5.8 אם (C) A M n מטריצת מכפלה פנימית המתאימה לבסיס B, אזי.< u, v >= [u] t B A[v] B הגדרה 5.9 מטריצה (C) [a ij ] = A M n נקראת חיובית לחלוטין (מוגדרת חיובית) אם: A = A.1 n מס' ממשי אי שלילי n.2 לכל α 1,..., α n C קיים j=1 α iα j a ij וכן הביטוי הנ"ל מתאפס אם ורק אם = 0 n α 1 =... = α הגדרה 5.10 מטריצה (R) [a ij ] = A M n נקראת חיובית לחלוטין (מוגדרת חיובית) אם: 5

6 6.1 ההעתקה הצמודה משפט 6.1 יהי V מרחב מכפלה פנימית. תהי T : V V העתקה לינארית אזי: V u, v T המקיימת :< : V V.1 קיימת ויחידה העתקה T u, v >=< u, T v > 2. ההעתקה T היא ליניארית. הגדרה 6.2 בהינתן העתקה ליניארית T, : V V ההעתקה הליניארית היחידה T : V V המקיימת : > v u, v V : < T u, v >=< u, T תקרא ההעתקה הצמודה ל T. משפט 6.3 (תכונות של העתקות צמודות) יהי V ממ"פ ו,S T : V V ה"ל. (T ) = T.1 (S + T ) = S + T.2.3 לכל סקלר (αt ) = αt : α.i = I,0 = 0.4 (ST ) = T S.5.6 אם T הפיכה אז 1 ) (T (T 1 ) =.3 לכל וקטור u 0 u U מתקיים כי 0. v u > v u טענה 5.22 יהי V ממ"פ..1 נניח עבור w, v V מתקיים לכל,< u, v >=< u, w > : u V אזי.w = v.2 תהיינה S, T : V V העתקות (לאו דווקא ליניאריות) אם לכל.S = T אזי < u, Sv >=< u, T v > קיים: u, v V.3 אם >= 0 v < Su, לכל u, v V אז = 0.S מטריצת Gram הגדרה 5.23 יהי V ממ"פ ויהיו v 1,.., v k V וקטורים. מטריצת גראם של.(G) ij =< v i, v j > המוגדרת באופן הבא: G היא מטריצה v 1,.., v k הערה: במקרה המרוכב G G (הרמיטית), = במקרה הממשי = G G (סימטרית). t הגדרה 5.24 דטרימננטת גראם של קבוצת וקטורים היא הדטרמיננטה של מטריצת גראם המתאימה לקבוצה. משפט 5.25 תהי } k {v 1,..., v וקטורים בממ"פ.V אזי } k {v 1,..., v היא קבוצה תלויה ליניארית אם ורק אם דטרמיננטת גראם של } k v} 1,,... v היא משפט הפירוק האורתוגונלי משפט 5.26 יהי V מרחב מכפלה פנימית ממימד 1 n ונניח כי U V הוא תת מרחב של V..V = U U.1.(U ) = U.2 משפט 6.4 תהי T : V V העתקה לינארית. V אזי קיים כי B בסיס אורתונורמלי של.1 אם } n = {w 1,..., w.[t ] B = ([T ] B ) 2. אם עבור העתקה ליניארית S : V V ועבור בסיס אורתונורמלי B כלשהו של V מתקיים ) B [S] B = ([T ] אזי T.S = העתקות צמודות לעצמן משפט 6.5 יהי V ממ"פ, העתקה ליניארית T : V V נקראת צמודה לעצמה אם T.T = משפט 6.6 העתקה לינארית T : V V היא צמודה לעצמה אם ורק אם בבסיס אורתונורמלי B של V מתקיים: ) B [T ] B = ([T ] הטלה אורתוגונלית אם V ממ"פ ו U תת מרחב, אזי לפי משפט 5.26 כל v V ניתן להציג כ u v = u + כאשר U.u U & u הגדרה 5.27 יהי U תת מרחב של ממ"פ V, אזי ההטלה האורתוגונלית של V על U היא העתקה ליניארית P U : V U המוגדרת על ידי: P U (v) = u כאשר u v = u + כאמור לעיל. P U (v) = k טענה 5.28 אם } k {u 1,.., u בסיס אורתונורמלי של U אזי <.v, u i > u i תהליך גראם שמידט משפט 5.29 יהי V ממ"פ ממימד 1 n ונניח כי } n B = {v 1,..., v בסיס סדור של.V אז קיים בסיס סדור אורתונורמלי } vk B = {v1,..., של V כך שלכל.sp{v 1,,., v k } = sp{v1,..., vk } קיים 1 k n אלגוריתם למציאת בסיס אורתונורמלי בסיס אורתונורמלי } n u }(המקיים 1,,.. u את תנאי המשפט) למרחב וקטורי V בהינתן בסיס } n v} 1,,... v כלשהוא, מוגדר באינדוקציה על ידי: למה 6.7 יהי V ממ"פ ו T : V V העתקה צמודה לעצמה, אם.T אזי = 0 v V לכל < T v, v >= 0 משפט 6.8 יהי V ממ"פ מרוכב, ו T : V V העתקה ליניארית. אם.T אז = 0 v V לכל < T v, v >= 0 i = 1 : u 1 = v1 v 1 2 i n : w i = v i i 1 j=1 < v i, u j > u j u i = w i w i 6 העתקות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית כל המרחבים הוקטוריים בחלק זה הינם ממימד סופי, 1 n. כמו כן F = C משפט 6.9 יהי V ממ"פ מרוכב, ותהי T : V V העתקה ליניארית. אזי T צמודה לעצמה אם ורק אם לכל u V מתקיים כי > u < T,u מספר ממשי. או.F = R 6

7 6.2 העתקות אוניטריות 2. הפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים ליניאריים. מסקנות מהמשפט: 1. אם V ממ"פ מרוכב אז T לכסינה אוניטרית אם ורק אם T נורמלית. 2. אם T צמודה לעצמה אז T לכסינה אוניטרית. משפט 6.24 (מקביל למטריצות) תהי ) F) A M n מטריצה נורמלית, נניח כי הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים אזי A לכסינה אוניטרית. הגדרה 6.10 העתקה ליניארית T : V V נקראת אוניטרית אם מתקיים.T T = T T = I (במקרה הממשי העתקה אוניטרית נקראת העתקה אורתוגונלית) משפט 6.11 יהי V מרחב מכפלה פנימית ו T : V V העתקה ליניארית, אז התנאים הבאים שקולים:.1 T אוניטרית מסקנה 6.25 (מטריצה סימטרית לכסינה אורתוגונלית) תהי (R) A M n מטריצה סימטרית, אזי A לכסינה אורתוגונלית. כלומר קיימת מטריצה אורתוגונלית (R) Q M n ומטריצה אלכסונית (R) D M n כך ש.D = Q 1 AQ = Q t AQ מציאת בסיס אורתונורמלי מלכסן משפט 6.26 תהי T : V V העתקה נורמלית של ממ"פ.V נניח כי λ 1 λ 2 ע"ע של T ו v 1, v 2 V ו"ע השייכים לערכים λ 1, λ 2 בהתאמה. אזי v 1, v 2 ניצבים זה לזה, >= 0 2.< v 1, v אלגוריתם לכסון אוניטרי נתון: T : V V העתקה נורמלית. 1. נמצא את הפולינום האופייני (t) P. T 2. נבדוק האם (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים, אם לא T אינה לכסינה. P T (t) = (t λ 1 ) s 1 כאשר λ i λ j עבור...(t λ k ) s k 3. נניח כי.s s k = n = dim V ו,1 i j k.4 לכל i k 1 נמצא בסיס א"נ B i של מרחב עצמי.V λi B, = k זהו הבסיס האורתונורמלי המבוקש..5 נגדיר B k משפט V 6.27 ממ"פ ו T : V V העתקה ליניארית. אם T נורמלית והפולינום האופייני (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים: (t P T (t) =.λ 1 ) s1...(t λ k ) s k אז:.V = V λ1... V λk כאשר V λi המרחב העצמי השייך לע"ע,λ i ו.1 j i k עבור V λi V λj המשפט הספקטרלי משפט V 6.28 ממ"פ ו T : V V העתקה ליניארית. נניח כי:.T T = T T נורמלית, כלומר T (1 (t P T (t) = (2 הפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים ליניאריים:.λ 1 ) s 1...(t λ k ) s k כמו כן נסמן V λi את המרחב העצמי של ע"ע λ. i עבור i k 1 נסמן V, λi אז: ב P i : V V את ההטלה האורתוגונלית על תת מרחב T = λ 1 P 1 + λ 2 P λ k P k.1.p P k = I.2.3 לכל i j k 1 מתקיים = 0 j.p i P שימושים למשפט הספקטרלי.P T (t) = (t λ 1 ) s1...(t λ k ) s k נניח כי T : V V נורמלית וכן T 2 = T T = ( k λ ip i )( k λ ip i ) = k k j=1 λ iλ j P i P j = = k λ2 i P 2 i = k λ2 i P i.t n = k ובאופן יותר כללי: λn i P i.1.2 לכל u, v V קיים: > v.< T u, T v >=< u,.3 לכל u V קיים: u. T u = משפט 6.12 תהי T : V V העתקה ליניארית, אזי T אוניטרית אם ורק אם T מעבירה בסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי. הגדרה 6.13 מטריצה ) (F A M n (כאשר F = C או (F = R נקראת אוניטרית אם.AA = A A = I טענה 6.14 תהי ) F) A M n מטריצה אוניטרית. אז השורות (העמודות) של F. n הן בסיס אורתונורמלי של A משפט 6.15 א) אם T : V V העתקה אוניטרית ו B בסיס אורתונורמלי של V, אז מטריצת הייצוג T] ] B מטריצה אוניטרית. ב) אם T : V V העתקה ליניארית ובבסיס אורתונורמלי B של V מקבלים כי T] ] B מטריצה אוניטרית אז T אוניטרית. 6.3 ערכים עצמיים של העתקות ליניאריות במרחבי מכפלה פנימית טענה T : V V 6.16 העתקה לינארית של ממ"פ.V לעצמה ויהי λ ע"ע של T, אז λ הוא מספר ממשי. נניח כי T צמודה משפט 6.17 תהי T : V V העתקה ליניארית של מרחב מכפלה פנימית V. נניח כי T צמודה לעצמה. אז הפולינום האופייני (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים:(.P T (t) = (t λ 1 )...(t λ k כאשר n = dim V ו R.λ 1,..., λ n משפט 6.18 תהי T : V V העתקה אוניטרית של מרחב מכפלה פנימית V. יהי λ ע"ע של,T אזי = 1. λ 6.4 ליכסון אוניטרי הגדרה 6.19 יהי V ממ"פ ותהי T : V V העתקה ליניארית. T נקראת לכסינה אוניטרית אם קיים בסיס אורתונורמלי B של V בו מטריצת הייצוג [T ] B היא אלכסונית. הגדרה מקבילה למטריצות תהי ) F) A M n מטריצה, A לכסינה אוניטרית אם קיימת מטריצה אוניטרית ) (F Q M n כך שהמטריצה D = Q 1 AQ אלכסונית. משפט 6.20 תהי T : V V ה"ל של ממ"פ V. יהי B בסיס אורתונורמלי של V ותהי A = T] ] B מטריצת הייצוג של T לפי B. אזי T לכסינה אוניטרית אם ורק אם A לכסינה אוניטרית. 7 משפט 6.21 (תנאי הכרחי לליכסון אוניטרי) יהי V ממ"פ ו T : V V ה"ל. נניח כי T לכסינה אוניטרית, אזי:.T T = T T הגדרה 6.22 תהי T : V V ה"ל של ממ"פ.V אם קיים T T = T T אזי T נקראת נורמלית. משפט 6.23 (תנאי מספיק והכרחי) יהי V ממ"פ, ו T, : V V אזי T לכסינה אוניטרית אם ורק אם מתקיים:.1 T נורמלית

8 משפט 7.5 תהי f : V V F תבנית בילינארית על מרחב וקטורי.V יהי B בסיס סדור של V. אזי f סימטרית אם ורק אם מטריצת התבנית [f] B היא סימטרית. הגדרה 7.6 תהי f : V V F תבנית ביליניארית. הפונקציה q : V F המוגדרת על ידי (v q(v) = f(v, נקראת התבנית הריבועית הקשורה ל f. (נשים לב כי לאותה תבנית ריבועית q מתאימה יותר מתבנית בילינארית אחת). k k k T = ( λ i P i ) = λ i Pi = λ i P i (א) בפרט אם הערכים העצמיים של T ממשיים λ i = λ i אזי T.T =.2 טענה 7.7 תהי q : V F תבנית ריבועית אזי קיימת תבנית ביליניארית סימטרית יחידה כך ש q הינה התבנית הריבועית המתאימה ל f..f(u, v) = 1 2 בהינתן q התבנית הסימטרית הינה: q(v)] [q(u + v) q(u) הגדרה 7.8 תהי q : V F תבנית ריבועית ו B בסיס סדור של V. אז המטריצה [q] B מוגדרת על ידי [q] B = [f] B כאשר f הינה התבנית הביליניארית הסימטרית היחידה המתאימה ל q. V, אזי: q : V תבנית ריבועית, B בסיס סדור של טענה 7.9 תהי F.q(v) = [v] t B [q] B[v] B מטריצת המעבר מבסיס B ל B היא מטריצה M שעמודותיה תזכורת: v: V B בקואורדינטות על פי בסיס B ומקיימת לכל הם וקטורי.[v] B = M[v] B משפט 7.10 (החלפת בסיס) תהי f : V V F תבנית ביליניארית המוגדרת על מרחב וקטורי n מימדי מעל שדה F. יהיו B,B בסיסים סדורים של V, ותהי ) (F M M n מטריצת המעבר מ B ל.B אזי:.[f] B = M t [f] B M משפט זהה קיים גם לתבניות ריבועיות. k k T T = ( λ i P i )( λ i P i ) =.3 אם = 1 i λ לכל i k 1 אזי: k λ i 2 P i = I T אוניטרית 6.5 העתקות אורתוגנליות הגדרה 6.29 תהי T : V V העתקה אורתוגונלית. תת מרחב U של V נקרא.u U לכל T u U כלומר.T (U) U אם T שמור משפט 6.30 יהי V ממ"פ ממשי. תהי T : V V העתקה אורתוגונלית, אזי קיים פירוק V = V 1... V r כאשר V i תת מרחב T שמור של,V.i j לכל V i V j ו dim V i {1, 2} מסקנה 6.31 תהי T : V V העתקה אורתוגונלית של ממ"פ ממשי V. אז קיים בסיס אורתונורמלי B של V בו הגדרה 7.11 מטריצות ) (F A, B M n נקראות חופפות אם קיימת מטריצה הפיכה ) (F M M n כך ש.B = M t AM טענה 7.12 יחס החפיפה הוא יחס שקילות על הקבוצה ) F) M. n טענה 7.13 למטריצות חופפות אותה דרגה. משפט 7.14 מטריצות ) F),A B M n חופפות אם ורק אם הן מייצגות אותה תבנית ריבועית. הגדרה 7.15 תהי f : V V F תבנית בילינארית, הדרגה של f המסומנת ב ( ρ(f הינה הדרגה של מטריצת הייצוג של f לפי בסיס B כלשהו של V. 7.1 ליכסון תבניות ביליניאריות וריבועיות משפט 7.16 (תנאי מספיק והכרחי לליכסון) תהי f : V V F תבנית בילינארית אזי קיים בסיס B של V בו מטריצת הייצוג [f] B היא אלכסונית אם ורק אם f תבנית סימטרית. משפט 7.17 תהי q : V F תבנית ריבועית, אז קיים בסיס B של V בו מטריצת הייצוג [q] B היא אלכסונית. ניסוח שקול: תהי q : V F תבנית ריבועית, אז קיים בסיס B של V שבו.q(v) = q(t 1,..., t n ) = β 1 t β n t 2 n כאשר β i F ו.[v] B = (t 1,.., t n ) [M 1 ] 0 [M 2 ] [T ] B =... 0 [M r ] כאשר M i היא מטריצה ממשית אורתוגנלית מסדר 1 1 או 2 2. ובמקרה ש (R) M i M 1 אזי [1] = i M או [ 1] = i.m 7 תבניות בילינאריות וריבועיות הערה: בכל הדיון על תבניות ריבועיות אנו מניחים כי 2.charF משפט 7.1 יהי מרחב וקטורי מעל שדה.F פונקציה f : V V F נקראת תבנית בילינארית אם היא ליניארית בכל אחד מהמשתנים, כלומר:.1 לכל v U מתקיים: = v) u 1, u 2 V : f(α 1 u 1 + α 2 u 2,.α 1, α 2 F כאשר α 1 f(u 1, v) + α 2 f(u 2, v) 2. באופן דומה עבור המשתנה השני. הגדרה 7.2 תהי f : V V F תבנית ביליניארית ויהי } n B = {v 1,..., v בסיס סדור של V. המטריצה של התבנית הבילינארית לפי בסיס B, המסומנת ב [f] B הינה מטריצה ) (F A M n המוגדרת על ידי ) j.(a) ij = f(v i, v מסקנה 7.18 תהי ) (F A M n מטריצה סימטרית. אז A חופפת למטריצה אלכסונית, כלומר קיימת מטריצה הפיכה (f) M M n כך ש D = M t AM אלכסונית. אלגוריתם ליכסון תבנית ריבועית האלגוריתם הכללי ביותר בהוכחת משפט הליכסון, דוגמא לרעיון עבור תבנית.q(x, y, z) : R 3 R משפט 7.3 תהי f : V V F תבנית בילניארית המוגדרת על מרחב וקטורי V. יהי B בסיס סדור של V. אז לכל,u v V מתקיים: f(u, v) = [u] t B[f] B [v] B 1. מקבצים את האיברים בהם משתתף משתנה x ומשלימים את הביטוי שמקבלים לריבוע שלם, נקבל תבנית מהצורה + x q(x, y, z) = (α 1.β 1 y + γ 1 z) 2 + λ 1 y 2 + λ 2 z 2 + λ 3 yz הגדרה 7.4 תבנית בילינארית,f : V V F נקראת סימטרית אם:. u, v V : f(u, v) = f(v, u). u, v V : f(u, v) = f(v, u) נקראת אנטי סימטרית אם: f 8

9 מסקנה 7.25 א) כל מטריצה ממשית סימטרית (R) A M n חופפת למטריצה יחידה מהצורה: 0)..., 0, 1,..., 1, 1,.., diag(1,.d = ב) תהיינה (R) A, B M n מטריצות ממשיות סימטריות. אזי A, B חופפות אם ורק אם ρ(b) ρ(a) = והסימניות של A ו B שוות הסימן של תבנית ריבועית ממשית הגדרה 7.26 יהי V מרחב וקטורי ממשי ותהי q : V R תבנית ריבועית. אזי q נקראת: חיובית לחלוטין אם > 0 q(v) לכל v V 0. חיובית למחצה אם 0 q(v) לכל.v V שלילית לחלוטין אם < 0 q(v) לכל v V.0 שלילית למחצה אם 0 q(v) לכל.v V טענה 7.27 יהי V מרחב וקטורי ממשי nמימדי ותהי q : V R תבנית ריבועית עם פרמטרים ρ ו π. π. = n חיובית לחלוטין אם ורק אם q 1. π. = ρ חיובית למחצה אם ורק אם q 2..ρ = ו n π שלילית לחלוטין אם ורק אם = 0 q.3 π. שלילית למחצה אם ורק אם = 0 q 4. משפט 7.28 יהי V מ"ו ממשי סוף מימדי ותהי q : V R תבנית ריבועית. נניח כי B הוא בסיס סדור של V. אז q חיובית לחלוטין אם ורק אם כל הערכים העצמיים של [q] B הם חיוביים שיטת הלכסון של יעקובי משפט 7.29 יהי V מרחב וקטורי ממימד 1 n מעל שדה F ותהי : f V V F תבנית ביליניארית סימטרית. יהי B בסיס סדור של V ותהי i,j=1 A = (α ij ) n מטריצת הייצוגת של f לפי בסיס B. α α 1i.1 i n לכל i =..... נניח כי 0 α i1... α ii אזי קיים בסיס סדור B של V בו למטריצת הייצוג B [f] הצורה הבאה 2. מבצעים את אותה פעולה עבור המשתנה y, קיבלנו תבנית מהצורה:.q(x, y, z) = (α 1 x + β 1 y + γ 1 z) 2 + µ 1 (β 2 y + γ 2 z) 2 + µ 2 z 2 x = y = z = 3. נגדיר בסיס חדש B אשר מוגדר על ידי: α 1 x + β 1 y + γ 1 z β 2 y + γ 2 z z.4 בבסיס B נקבל כי אכן ) 2 (z.q(x, y, z ) = (x ) 2 + µ 1 (y ) 2 + µ 2.[v] B = α 1 β 1 γ 1 β 2 γ 2 x.5 נרשום ) z [v] B = (x, y, ואז y 1 z 6. נסמן את המטריצה הנ"ל A, אזי זוהי מטריצת המעבר מ Bאל E. 3 לכן המטריצה שאנו מחפשים הינה 1 A M = שהינה מטריצת המעבר מ E 3 אל.B.7 ומתקיים כי D = M t [q] E3 M הינה מטריצה אלכסונית. משפט 7.19 יהי V מרחב וקטורי מרוכב n מימדי ו C f : V V תבנית בילינארית סימטרית. אזי קיים בסיס B של V שבו: f(u, v) = f(x 1,..., x n, y 1,.., y n ) = x 1 y x ρ y ρ כאשר ) n [v] B = (y 1,.., y n ),[u] B = (x 1,.., x ו ρ היא הדרגה של.f מסקנה 7.20 תהי (C) A M n מטריצה סימטרית, אז A חופפת למטריצה.D = diag(1,..., 1, 0,..., 0) }{{} ρ(a) משפט 7.21 יהי V מ"ו מעל R ממימד סופי. תהי f : V V R תבנית ביליניארית סימטרית. אז קיים בסיס סדור B של V בו מטריצת הייצוג הינה מהצורה: [f] B = diag(1,..., 1, 1,..., 1, 0,..., 0) }{{}}{{} π ρ π כאשר ρ הינה הדרגה של f. משפט זהה לתבניות ריבועיות. [f] B = diag( 1, 1,..., n 1 ) משפט 7.22 (משפט ההתמדה של סילבסטר) יהי Vמרחב וקטורי סוף מימד ממשי. תהי q : V R תבנית ריבועית. נניח B B, בסיסים סדורים של n V 2 1 בהם מטריצות הייצוג [q] B ו [q] B הינן אלכסוניות. אזי מספרי האיברים החיוביים והשליליים בשתי מטריצות הייצוג הנ"ל שווים משפט מקביל קיים גם לתבניות ריבועיות. אלה לאלה, בהתאמה. מסקנה 7.30 (קריטריון סילבסטר) יהי V מרחב וקטורי n מימדי (1 n) מעל.R תהי q : V R תבנית ריבועית המוגדרת על.V נניח כי בבסיס סדור,B מטריצת הייצוג [q] B היא מהצורה.([q] B ) ij = α ij α α 1i = i לכל..... אזי q היא חיובית לחלוטין אם ורק אם > 0 α i1... α ii.1 i n מסקנה 7.23 לכל תבנית ריבועית q : V R על מ"ו ממשי סוף מימדי, אז בכל צורה אלכסונית של q, מס' האיברים החיוביים באלכסון π ומס' האיברים השליליים באלכסון ρ π לא תלויים בבחירת הבסיס. על כן הם השמורות (אינווריאנטיות) של q. הגדרה 7.24 ההפרש בין מספר האיברים החיוביים למספר האיברים השליליים בצורה אלכסונית של תבנית ריבועית π, (ρ π) q, נקרא הסימנית (סיגנטורה) של q. 9